Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks menjadi matriks yang lebih sederhana dan banyak digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linier.... Metode ini mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks augmentasi dan mengoperasikannya.

Teori Eliminasi Gauss

Persamaan linear dalam n variabel X1,X2,....,Xn adalah suatu persamaan yang bisa disajikan dalam bentuk : $$a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ... +a_{1n}x_{n}=b1$$ $$a_{21}x_{2} + a_{22}x_{2} + ... +a_{mn}x_{n}=b2$$ $$.$$ $$.$$ $$.$$ $$a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ... +a_{mn}x_{n}=b_{m}$$

Dimana a1,b2,...,ndan bkonstanta real. Variabel-variabel dalam suatu persamaan linear kadang disebut variabel bebas .

Dalam Bentuk matrix sisi kanan AX=b dimana Aadalah koefisien matrix, dan b adalah vector sisi kanan : $$\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12} & ... &a_{1n} \\ a_{21}& a_{22} & ... & a_{2n}\\ .& .& . &. \\ .& .& . &. \\ .& .& . & .\\ a_{m1}& a_{m2} &... & a_{mm} \end{bmatrix} ,x= \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ .\\ .\\ .\\ x_{n} \end{bmatrix} ,b=\begin{bmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ .\\ .\\ .\\ b_{n} \end{bmatrix}$$

metode eliminasi gaus

Untuk menggunakan metode eliminasi Gauss ini, terlebih dahulu bentuk matrik diubah menjadi augmented matrik sebagai berikut : $$ \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12} & ... &a_{1n} & | & b_{1}\\ a_{21}& a_{22} & ... & a_{2n} & | & b_{2}\\ .& .& . &. & | & .\\ .& .& . &. & | & .\\ .& .& . & . & |& .\\ a_{m1}& a_{m2} &... & a_{mm} & | &b_{n} \end{bmatrix} $$

pada biagan kiri diubah menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah. $$ \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12} & ... &a_{1n} & b_{1}\\ a_{21}& a_{22} & ... &a_{2n} & b_{2}\\ a_{31}& a_{23} & ... &a_{3n} & b_{3}\\ .& .& . &. & .\\ .& .& . & .& .\\ a_{m1}& a_{m2} &... & a_{mm} & b_{n} \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} c_{11}& c_{12} & c_{13}& ... & c_{1n} & d_{1}\\ 0& c_{22} & c_{13} & ... & c_{2n} & d_{2}\\ 0& 0& c_{33}& ... & c_{3n} & d_{3} \\ .& .& .& .& .&. \\ .& .& .& .& .&. \\ 0& 0& 0& ... & c_{mn}&c_{n} \end{bmatrix} $$ Terdiri dari dua tahap yakni, Forward eliminaton (eliminasi maju) dan Backward substituton (substitusi mundur).